Я свою очень быстро приучила к пеленке. Для этого надо внимательно понаблюдать за щенком. Когда ему "приспичит", он начнет беспокоится. Тогда берем щенка и садим на пеленку. Ушел ничего не сделав? Еще раз садим. И так несколько раз. Если ничего не получается, оставляем щена на пару минут в покое, продолжая внимательно наблюдать за ним (или даже играем с ним). Потом процедуру повторяем. Ни в коем случае не злиться и не ругать щенка! Когда же долгожданное событие произойдет - надо щенка захвалить и дать вкусняшку. Моя с ума сходит по кураге. В итоге доходило до того, что когда кто-то был в комнате, где пеленка, она прибегала, садилась на пеленку и выдавливала из себя несколько капелек, чтоб только заполучить очередную порцию кураги
Еще совет. Если щен где-то сделал лужу, промокните ее пеленкой, чтоб на пеленке был запах. И пока щенок маленький, лучше положить несколько пеленок в разных местах.
По поводу машины... Один вариант - застелить сиденье пеленкой, если едете со щенком. Второй вариант - возить щенка в переноске.
То, что щен писает там, где спит - не нормально. Могу предположить, что у ребенка застужен мочевой. Отсюда и большая часть Ваших бед. Сходите к ветеринару, сделайте анализы. Если нужно - пролечите. Тогда проблема с кроватью, местом и машиной, думаю, отпадет.